插值法的概念是什么?

1、一維插值問題：

問題如下：已經(jīng)有n+1個節(jié)點

，其中

互不相同，不妨假設

，求任意插值點

處的插值

思路：構(gòu)造出一個函數(shù)y=f(x)，使得f(x)結(jié)果所有的點，求

即可得到

2、插值法的概念：

設函數(shù)y= f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義，且已知在點

上的值分別為

若存在一個簡單的函數(shù)P(x)，使

則稱P(x)為f(x)的插值函數(shù)，點

稱為插值節(jié)點，包含插值節(jié)點的區(qū)間[a,b]稱為插值區(qū)間，求插值函數(shù)P(x)的方法稱為插值法。 若P(x)是次數(shù)不超過n的代數(shù)多項式，即

，就稱為插值多項式 若P(x)為分段多項式，就稱為分段插值 若P(x)為三角多項式，就稱為三角插值。 3、一般插值多項式原理

定理：設有n+1個互不相同的節(jié)點

則存在唯一的多項式：

使得

證明：構(gòu)造方程組

令：

方程組的矩陣形式如下：AX=Y(4)

由于

所以方程組(4)存在唯一解

從而

唯一存在

注1：只要n+1個節(jié)點互異，滿足上述插值條件的多項式是唯一的

注2：如果不限制多項式的次數(shù)，插值多項式并不唯一

4、拉格朗日插值法

在數(shù)值分析中，拉格朗日插值法是以法國十八世紀數(shù)學家約瑟夫·劉易斯·拉格朗日命名的一種多項式插值方法。在若干個不容的地方得到相應的觀測值，拉格朗日插值法可以找到一個多項式，其恰好在各個觀測的點取到觀測到的值。

兩個點

我們可以構(gòu)造出在兩點之間的任意的一點對應的插值

三個點

對于四個點甚至更多的點，我們可以依次寫出

數(shù)學表達：

高次插值會產(chǎn)生龍格現(xiàn)象，即在兩端處的波動極大，產(chǎn)生明顯的震蕩。在不清楚運動趨勢的前提下，不要輕易使用高次插值。

5、分段線性插值

由于插值多項式的次數(shù)越高未必能提高精度，反而可能回增大誤差，所以引入分段插值。

最簡單的就是分段線性插值，相鄰的兩點之間連成一條線段來擬合所有的點。

6、分段二次插值(分段拋物插值)

選取跟節(jié)點x最近的三個節(jié)點

進行二次插值，即在每一個區(qū)間

上，取

這種分段的低次插值稱為分段二次插值，在幾何上就是用分段拋物線代替y=f(x)，所以分段二次插值又稱為分段拋物插值。

7、埃爾米特(Hermite)插值

不做過多敘述，就是它即滿足函數(shù)值相等，又滿足導數(shù)值相等，甚至是高階導數(shù)值還相等的不超過(2n+1)次的多項式。既然是多項式肯定存在龍格現(xiàn)象，因此我們使用分段的方法來降低誤差，減少龍格。

8、分段三次埃爾米特插值(常用)

直接使用Hermite插值得到的多項式次數(shù)較高，也存在龍格現(xiàn)象。因此在實際使用中，往往使用分段三次Hermite插值多項式(PCHIP)。

證明推導太過復雜，掌握怎么使用即可。

matlab有內(nèi)置函數(shù)pchip()

x = -pi:pi; y = sin(x); new_x = -pi:0.1:pi; p = pchip(x,y,new_x); figure(1); plot(x, y, 'o', new_x, p, 'r-') % 此處的'o'用來修飾plot(x,y) % plot函數(shù)用法: % plot(x1,y1,x2,y2) % 線方式： - 實線 :點線 -. 虛點線 -- 波折線 % 點方式： . 圓點 +加號 * 星號 x x形 o 小圓 % 顏色： y黃; r紅; g綠; b藍; w白; k黑; m紫; c青

9、三次樣條插值(常用)

三次樣條插值需要滿足更嚴苛的條件：

函數(shù)值相等S(x) =f(x) 在每個子區(qū)間上S(x)都是三次多項式 S(x)在[a,b]上二階可微

主要來說應用

matlab有內(nèi)置的函數(shù)spline(x,y,new_x)

% 三次樣條插值和分段三次埃爾米特插值的對比 x = -pi:pi; y = sin(x); new_x = -pi:0.1:pi; p1 = pchip(x,y,new_x); %分段三次埃爾米特插值 p2 = spline(x,y,new_x); %三次樣條插值 figure(2); plot(x,y,'o',new_x,p1,'r-',new_x,p2,'b-') legend('樣本點','三次埃爾米特插值','三次樣條插值','Location','SouthEast') % legend(String1, string2, String3,...)每個String與繪圖之間有順序?qū)P(guān)系 % Location 表示legend的位置，上述語句表示在SouthEast東南方向

可以看出，三次樣條生成的曲線更加光滑。在實際過程中，由于我們不知道數(shù)據(jù)的生成過程，因此兩種插值都可以使用。

以上就是關(guān)于插值法的概念及計算公式的相關(guān)內(nèi)容，希望對您有所幫助。

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